( ∑ i = 1 n x i y i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)} . Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều bằng 2 hay 3, nếu
tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: | x ⋅ y | = | x | | y | | cos θ | ≤ | x | | y | {\displaystyle |\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} ||\cos \theta |\leq |\mathbf {x} ||\mathbf {y} |} . Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz có thể suy ra từ
đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng: ⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ = | ⟨ x , y ⟩ | 2 + | x × y | 2 . {\displaystyle \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}.}
Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức
| ∫ f ( x ) g ( x ) d x | 2 ≤ ∫ | f ( x ) | 2 d x ⋅ ∫ | g ( x ) | 2 d x . {\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx.}
Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder.
Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ( a 1 + a 2 + . . . + a n − 1 + a n ) 2 b 1 + b 2 + . . + b n − 1 + b n ≤ a 1 2 b 1 + a 2 2 b 2 + . . . + a n − 1 2 b n − 1 + a n 2 b n {\displaystyle {\frac {(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+..+b_{n-1}+b_{n}}}\leq {\frac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+...+{\frac {a_{n-1}^{2}}{b_{n-1}}}+{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}}
